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EJERCICIO 1 by Diana Gaytan

Actividad 2 by Diana Gaytan

Diferencia entre las propiedades de los números reales y racionales

Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales.

Números racionales

Son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Además no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Diferencias entre número racional y número real:

-Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas.

-Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.

-Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Y por último las repeticiones de decimales son racionales.

Propiedades de los números racionales

Un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Suma y resta

Al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.

ab+cd=ef

Propiedad asociativa, se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa,donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab+cd=cd+ab

Elemento neutro,el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto, es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Multiplicación y división:

Propiedad interna, en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef

Propiedad asociativa  , donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa , aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva, al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro, en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab

ab÷1=ab

Propiedades de los números imaginarios

Un numero imaginario, es aquel número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo. Como característica ,tiene un  símbolo común y frecuente es el del número imaginario “ I “siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario.

Entre sus propiedades destacaremos las siguientes:

-Suma

La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario. También tiene una propiedad conmutativa, por lo cual el orden de los sumandos no altera la adición.

Así mismo, en una propiedad distributiva, la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Cabe destacar, que durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero. Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.

-Multiplicación

El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro, en este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado. Aunque también posee una propiedad distributiva y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario.

Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente:

                                            √-25 = √25 × -1 = √25 √-1 = 5i

Con lo anterior podemos deducir que los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad, útiles, y alguna vez los vamos a usar en la vida real.

Propiedades de los números naturales

Podemos definir a un número natural, como aquel  que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Como sabemos los números naturales son usados para realizar operaciones elementales de cálculo. También los usamos para contar los elementos de un conjunto

Sin embargo hay que resaltar que los números naturales son infinitos, y que el conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

A continuación mencionaré brevemente algunas de sus propiedades, según sea el caso. Antes hay que aclarar que la adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

                                      (a + b) + c = a + (b + c)

-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

                                       a + b = b + a

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

-Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

                                        a + 0 = a

-Propiedades de la multiplicación de números naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

                                  (a · b) · c = a · (b · c)

-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

                                            a · b = b · a

-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

                                               a · 1 = a

-Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

                                  a · (b + c) = a · b + a · c

Con la mención de las propiedades anteriores es más fácil la realización de operaciones matemáticas.

Símbolos en los sistemas de numeración no posicionales

Como lo comprendimos en lecturas anteriores, los sistemas de numeración son de gran ayuda ya que han facilitado mucho el conteo de objetos, cosas, etc. Podemos definir un  sistema de numeración como un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.

En este caso los sistemas de numeración no-posicionales son mi objeto de estudio, y hay que mencionar que en él los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

Por ejemplo el sistema del antiguo Egipto, desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los Números en base diez utilizando los jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades.

En la siguiente imagen se los muestro gráficamente para comprender un poco más el tema:

Por otro lado tenemos el sistema de numeración romano, el cual  se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Cabe destacar que hago mención del porque es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

Muestro la siguiente imagen para que sea más comprensible la información:

Hay que resaltar que los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

Por último ,con lo anterior podemos deducir que un sistema de numeración es posicional cuando el número representado se calcula asignando a cada dígito un valor que depende exclusivamente de cada símbolo y de suposición. En cambio los sistemas de numeración no posiciónales, es cuando tiene el mismo valor, sin importar qué posición o lugar ocupe, eso pasa con los números romanos. Es por ello que hicimos mención de los sistemas anteriores, ya que se pueden considerar no posicionales por las características antes mencionadas 

Diferencia entre las propiedades de los números enteros y racionales

Los números racionales

Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común. Los números racionales contienen a los números enteros y cualquier otro número que se escriba como una fracción.

Los números enteros

Los números enteros son aquellos incluidos en el conjunto formado por los números naturales o enteros positivos, sus opuestos (enteros negativos) y el cero. Cabe mencionar que los números racionales incluyen a los naturales y a los enteros, por lo tanto se dice que estos dos son un subconjunto de los racionales.

Sin embargo hay que resaltar las diferencias entre ellos, las cuales son:

-Operaciones

Realizar operaciones con números fraccionarios y números enteros no es lo mismo con cada uno se aplican reglas diferentes.

-Consecución

Este conjunto  también está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales y enteros que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que sólo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

-Notación

Los números enteros se escribe utilizando uno o varios dígitos que van del cero al nueve, además el número posee un signo que en caso de ser positivo se omite y en caso de negativo se representa con el signo menos. Mientras que en los irracionales se utilizan un par de números en enteros, el numerador y el denominador.

Diferencia entre las propiedades de los números enteros y naturales

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada

Por otra parte, los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos. Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

Entre sus diferencias podemos distinguir las siguientes:

-Los números naturales solo abarcan a los positivos, mientras que los enteros incluyen a los números negativos y a cero.

-Los números naturales son utilizados principalmente para enumerar los elementos de un conjunto.

-Los números enteros resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

Aunque hay que resaltar que también tienen aspectos en común, como lo es, que los dos tipos de números tanto naturales como enteros, no incluyen a los números decimales y los números fraccionarios (fracciones o quebrados). Puesto que éstos solo representan una parte de algún  número entero.

Fractales

La palabra “fractal” significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. Así que al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto similitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de auto similitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen a todo.

Así que, un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.  

Cabe mencionar que hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Entre las definiciones más comunes y sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema, están:

“Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito”

“Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita”

Por otro lado, entre las propiedades de los fractales tenemos:

-Dimensión no entera.
La dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

-Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

-Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

-Autosimilitud (en algunos casos).
Existen fractales plenamente auto similares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales. Sin embargo, tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de los resultados.

Con lo anterior podemos comprender que, por más que se avance los fractales no dejan de tener posibilidades para el desarrollo y la investigación, como por ejemplo en la compresión de imágenes, donde el concepto es excepcional, aun que todavía no se haya dado con la forma adecuada de llevarlo a cabo. También hemos observado que los fractales son una muy buena aproximación para representar un gran número de fenómenos naturales pues en la naturaleza la mayor parte de los elementos son irregulares y caóticos por lo que se aproximan mejor por características fractales.

En definitiva podemos decir que los fractales son una buena herramienta que nos ayuda y ayudará en muchas aplicaciones, y explicaciones de fenómenos de la vida real, y que es un campo de las matemáticas muy joven que aun tiene bastante recorrido por delante.

Y por último que la propiedad fundamental de los fractales es una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total y un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.

Origen de los números

Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre primitivo se comunicaba con sus semejantes gesticulando palabras o sonidos, este medio de lenguaje audible se fue perfeccionando al cabo de miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la palabra hablada. Cabe mencionar que al tener el hombre antiguo un sistema base de medida, se vio en la necesidad de cuantificar las medidas en su modo base de contar, esta operación la llevó a cabo, por ejemplo, utilizando un sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en papiro. Otro método era haciendo marcas en los troncos de los árboles o cortes sobre una vara para llevar un registro permanente de las cosas. Cada pueblo o tribu tuvo que inventar sus propias palabras y signos para representar sus operaciones de conteos realizados, con el comercio los antiguos mercaderes estaban obligados a saber una gran variedad de sistemas de medidas y numeración, a fin de poder comerciar con los diferentes pueblos o tribus.

Para llegar a la concepción e invención de un sistema numérico, fueron necesarios muchos miles de años antes que el hombre concibiera la idea del número, "un paso fundamental en el proceso de la abstracción matemática fue la creación de los símbolos matemáticos
Cabe mencionar los inicios de la escritura, fueron hace unos 6000 años a.c.cuando los fenicios, sumerios y babilonios registraban sus hechos y acontecimientos por medio de figuras dibujadas en arcilla húmeda, este tipo de escritura se llamó cuneiforme, o en forma de cuña, porque cada trazo del escrito se hacía oprimiendo sobre tablillas de arcilla que posteriormente secaban al sol o la cocían. El trazo representaba el objeto dibujado, posteriormente lo convirtió en un símbolo relacionado con el mismo objeto, esta etapa de la escritura que el hombre desarrolló, se le llamó ideográfica.
Los egipcios emplearon una escritura ideográfica que se fue perfeccionando con el tiempo y recibió el nombre de jeroglífica, este modo de escritura les servía para realizar sus inscripciones en los templos, tumbas y monumentos.
La escritura ideográfica egipcia tiene dos evoluciones perfectamente definidas, la primera parte de la evolución de la escritura ideográfica es convertirse en jeroglífica para acabar en una escritura cursiva con sus dos variedades, la hierática y demótica. La escritura hierática era una especie de taquigrafía abreviada de los jeroglíficos, muy usada entre los sacerdotes para expresarse rápidamente al no utilizarse el dibujo, cada jeroglífico tenía su correspondiente abreviatura hierática, dominando el elemento fonético y escribiéndose de derecha a izquierda.
La demótica o popular se componía de signos tomados de la hierática, con exclusión casi completa de los jeroglíficos, conservándose casi completamente los símbolos cuña de sus caracteres compuestos por ángulos y puntas.

En cuanto a los sistemas numéricos en la antigüedad aun se carece de información acerca de la forma como el hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número de armas que tenía, o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.

Con lo anterior podemos deducir que los números tienen diversas aplicaciones desde las más sencillas hasta las más complicadas ,apartir de ellas se producen transformaciones numéricas .Ya que todo el tiempo utilizamos los números en cualquier  forma  ya sea contando ,en una receta de cocina ,en los días, meses, ,años ,horas ,minutos ,segundos, formulas matemáticas ,etc. es de ahí la gran importancia de ellos en la actualidad.

Profesor , porfavor , ¡explíqueme!

El adolescente escucha la palabra escuela y generalmente lo primero que le viene a la mente es un entre aburrido, y a veces pérdida de tiempo, les parece” números y letras sin sentido” y principalmente el álgebra, ya que muchos de los estudiantes creen que no servirá para nada esas famosas “X” “Y”.

Creo que causas de la falta de interés hacia el álgebra y entendimiento tiene que ver en el sistema educativo, ya que en muchos planteles hay  demasiada teoría, el profesor los realiza en el pizarrón y ellos solo anotan, debería ser un poco más variado, es decir explicar y enseguida cuando no haya dudas que los estudiantes realicen un par de ejercicios para la práctica de ello y así desarrollar sus habilidades y competencias.

Otra causa muy vista es que muchos estudiantes solo realizan las operaciones de álgebra para obtener una buena nota, pero no saben las aplicaciones que álgebra tiene, ni el área de su vida donde lo aplicaran.

Además los estudiantes están muy acostumbrados a que el profesor le proporcione todo lo que se necesita para su aprendizaje, pero no debe ser así, es por eso que ya se ha implementado el modelo de competencias, y  así el alumno investiga mas afondo y en base a eso le nace un poco mas de interés. Hoy en día hay muchos medios al alcance ¡aprovechémoslos! .También hay que mencionar que muchas veces solo leemos y no comprendemos, en el algebra hay que razonar y no solo anotar.

Y por último mucho tiene que ver la relación alumno-profesor, ya que si no existe una buena comunicación entre ambos, no existirá la confianza para resolver ciertas dudas que se presenten en el desarrollo de las operaciones efectuadas, porque si se pierde una parte del problema, se perderá el resultado.

Multiplicación con geometria

Quizas te suene raro escuchar este termino ,incluso muchas personas desconocen que existia este metodo de multiplicar ,pero si existe. Cabe mencionar que este método nació en la antigua roma, ya que el sistema de numeración romano no es posicional y tampoco usa el cero, entonces esto lo hace imposible llevar a cabo como comunmente lo hacemos hoy en dia . Por lo anterior los romanos crearon este tipo de multiplicacion .


Para comprenderlo mejor y a detalle, les dejo el siguiente video .

Johannes Kepler. Serie Cosmos de Carl Sagan

Astrónomo y filósofo alemán ,nació el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, Württemberg.

Fue un niño enfermizo que padeció de furúnculos, dolores de cabeza, miopía, infecciones de la piel, fiebres y afecciones al estómago y a la vesícula. Con cuatro años, casi sucumbió con los estragos de la viruela. Cursó estudios de Teología y clásicas en la Universidad de Tübingen. Tuvo como profesor de matemáticas a Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por Nicolas Copernico

Kepler no fue toda su vida un científico, estudió un par de años en los seminarios de Adelberg y Maulbronn. Kepler era muy religioso, de echo su estudio por la astronomía fue impulsado por su intención de entender a dios. Es así como decide ingresar a la universidad de Tubinga en el año de 1589, donde empieza sus estudios Y su desarrollo en la astronomía.

A continuacion se muestra un video mejor explicado y mi opinion acerca de ello :

Ley de Bode Contestado by Diana Gaytan

Elementos Internos y Externos de Una Computadora by Diana Gaytan

Ley de Titius-bode by Diana Gaytan